Question

已知f（x）=log₃

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞），是否存在實(shí)數(shù)a、b，使f（x）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：
（1）f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）f（x）的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：法一：設(shè)g（x）=

x2+ax+b

x

，由f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)可知g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，再由f（x）的最小值是1可知

g′(1)=0 g(1)=3

，據(jù)此可以求出兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)a和b．
法二：因?yàn)榈讛?shù)3＞1，故原函數(shù)的單調(diào)性與 u=

1

x

（x²^2+ax+b）的單調(diào)性相同，（x＞0），u=x+

b

x

+a．當(dāng)b=0時(shí)，u=x+a是增函數(shù)，與題意不符當(dāng)b＜0時(shí)，u=x+

b

x

+a也是增函數(shù)，也不符．故b＞0．由此能求出a=1，b=1．

解答：解法一：存在實(shí)數(shù)a、b，使f（x）同時(shí)滿足兩個(gè)條件．具體求解過程如下：
設(shè)g（x）=

x2+ax+b

x

，
∵f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴

g′(1)=0 g(1)=3

，∴

b-1=0 a+b+1=3

，解得

a=1 b=1

經(jīng)檢驗(yàn)，a=1，b=1時(shí)，f（x）滿足題設(shè)的兩個(gè)條件．
解法二：因?yàn)榈讛?shù)3＞1
故原函數(shù)的單調(diào)性與 u=

1

x

（x²^2+ax+b）的單調(diào)性相同，（x＞0）
u=x+

b

x

+a
當(dāng)b=0時(shí)，u=x+a是增函數(shù)，與題意不符
當(dāng)b＜0時(shí)，u=x+

b

x

+a也是增函數(shù)，也不符
故b＞0
u=x+

b

x

+a≥2

b

+a（當(dāng)且僅當(dāng)x=

b

時(shí)取等號(hào)）
該函數(shù)在（0，

b

）減，在（

b

，+∞）增
故：

b

=1，b=1
f（x）的最小值是log₃（2

b

+a）=1
a+2=3，a=1
綜上：a=1，b=1．

點(diǎn)評(píng)：求解存在性問題時(shí)，要注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，從而建立起適當(dāng)?shù)姆匠袒蚍匠探M，使問題得以解決．