Question

長方體AC₁中，AB=BC=1，AA₁=2，過頂點D₁在空間作直線l，使l與直線AC和BC₁所成的角都等于

π

3

，這樣的直線最多可作（　�。�條．

Answer 1

分析：連接A₁C₁、A₁B，可得∠A₁C₁B（或其補角）就是直線AC和BC₁所成的角．在△A₁C₁B中用余弦定理，算出直線AC和BC₁所成的角為arccos

10

10

．設(shè)△A₁C₁B確定的平面為α，直線A₁C₁是直線m，直線BC₁是直線n，得經(jīng)過m、n的交點O的直線l在α內(nèi)的射影在m、n所成角的平分線上時，l與m、n所成的角相等．在此情況下討論這個所成角的范圍，結(jié)合直線l的平移，可得滿足條件的直線最多可以作出4條．

解答：解：連接A₁C₁、A₁B，
∵長方體AC₁中，A₁A∥C₁C且A₁A=C₁C
∴四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，得A₁C₁∥AC
∴∠A₁C₁B（或其補角）就是直線AC和BC₁所成的角
△A₁C₁B中，A₁C₁=AC=

AB2+BC2

=

2

，同理可得A₁B=BC₁=

12+22

=

5

∴cos∠A₁C₁B=

2+5-5

2× 2 × 5

=

10

10

，
由此可得直線AC和BC₁所成的角為arccos

10

10

＞

π

3

=arccos

1

2

設(shè)△A₁C₁B確定的平面為α，直線A₁C₁是直線m，直線BC₁是直線n，
得m、n所成的銳角為arccos

10

10

，是大于

π

3

的角
經(jīng)過m、n的交點O作直線l，當(dāng)l在α內(nèi)的射影在m、n所成角的平分線上時，l與m、n所成的角相等．
∵m、n所成的銳角為arccos

10

10

＞

π

3

∴當(dāng)l在α內(nèi)的射影在m、n所成鈍角的角平分線上時，l與m、n所成角的范圍為（

π

2

-

1

2

arccos

10

10

，

π

2

]，所成角的最小值大于

π

2

-

1

2

arccos

10

10

，
并且無限接近

π

2

-

1

2

arccos

10

10

，而

π

3

＞

π

2

-

1

2

arccos

10

10

，
所以此種情況有兩個位置滿足l與m、n所成角等于

π

3

；
當(dāng)l在α內(nèi)的射影在m、n所成銳角的角平分線上時，l與m、n所成角的范圍為（

1

2

arccos

10

10

，

π

2

]，
因為

1

2

arccos

10

10

＜

π

3

，所以直線l也有兩個位置滿足與m、n所成角都等于

π

3

．
綜上所述，經(jīng)過m、n的交點O，有4條直線l滿足與m、n所成角等于

π

3

，
再將直線l平移至經(jīng)過點D₁，可得經(jīng)過頂點D₁在空間作直線l，
使l與直線AC和BC₁所成的角都等于

π

3

，這樣的直線最多可作4條
故選D

點評：本題在長方體中，討論經(jīng)過一個頂點作出與兩條面對角線都成60度的直線的條數(shù)，著重考查了長方體的性質(zhì)和異面直線所成角求法與范圍等知識，屬于中檔題．