Question

揚(yáng)州某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設(shè)計其橫斷面要求面積為9

3

平方米，且高度不低于

3

米．記防洪堤橫斷面的腰長為x（米），外周長（梯形的上底線段BC與兩腰長的和）為y（米）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；
（2）要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5米，則其腰長x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（3）當(dāng)防洪堤的腰長x為多少米時，堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最�。�即斷面的外周長最小）？求此時外周長的值．

Answer 1

分析：（1）先由橫斷面積用x表示BC，從建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，定義域由線段必須大于零和高度不低于

3

米求解；
（2）解y≤10.5分式不等式；
（3）求函數(shù)y的最小值，根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)及條件可選用不等式解決．

解答：解：（1）9

3

=

1

2

(AD+BC)h，其中AD=BC+2•

x

2

=BC+x，h=

3

2

x，
∴9

3

=

1

2

(2BC+x)

3

2

x，得BC=

18

x

-

x

2

，
由

h= 3 2 x≥ 3 BC= 18 x - x 2 ＞0

，得2≤x＜6
∴y=BC+2x=

18

x

+

3x

2

，(2≤x＜6)；（6分）
（2）y=

18

x

+

3x

2

≤10.5得3≤x≤4∵[3，4]?[2，6）
∴腰長x的范圍是[3，4]（10分）
（3）y=

18

x

+

3x

2

≥2

18 x • 3x 2

=6

3

，
當(dāng)并且僅當(dāng)

18

x

=

3x

2

，即x=2

3

∈[2，6)時等號成立．
∴外周長的最小值為6

3

米，此時腰長為2

3

米．（15分）

點(diǎn)評：本題主要考查利用平面圖形建立函數(shù)模型以及解模的能力，屬于中檔題．