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    長度為a(a>0)的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動,點P在線段AB上,且(λ為常數(shù)且λ>0).
    (I)求點P的軌跡方程C,并說明軌跡類型;
    (II)當(dāng)λ=2時,已知直線l1與原點O的距離為,且直線l1與軌跡C有公共點,求直線l1的斜率k的取值范圍.
    【答案】分析:(I)欲求點P的軌跡方程,設(shè)點P(x,y),只須求出其坐標(biāo)x,y的關(guān)系式即可,由題意知點P滿足于得到一個關(guān)系式,再結(jié)合線段AB的長度為a(a>0)化簡即得點P的軌跡方程,最后對參數(shù)λ進行討論來判斷軌跡是什么圖形即可.
    (II)設(shè)直線l1的方程:y=kx+h,先由直線l1與原點O的距離為,得出h與k的關(guān)系,再將直線方程代入(1)中的方程,利用根的判別式△=9(4+k2)a2-81h2≥0即可求出斜率k的取值范圍.
    解答:解:(I)設(shè)P(x,y)、A(x,0)、B(0,y),
    ,
    由此及|AB|=a⇒x2+y2=a2,得,
    .(*)(3分)
    ①當(dāng)0<λ<1時,方程(*)的軌跡是焦點為,
    長軸長為的橢圓;
    ②當(dāng)λ>1時,方程(*)的軌跡是焦點為,
    長軸長為的橢圓;
    ③當(dāng)λ=1時,方程(*)的軌跡是焦點為以O(shè)點為圓心,
    為半徑的圓. (6分)
    (II)設(shè)直線l1的方程:y=kx+h,
    據(jù)題意有,即. (9分)


    因為直線l1與橢圓有公共點,
    所以△=9(4+k2)a2-81h2≥0,又把代入上式,
    ,∴. (12分)
    點評:本小題主要考查曲線與方程,直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識,以及求動點軌跡的基本技能和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.
    練習(xí)冊系列答案
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    長度為a(a>0)的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動,點P在線段AB上,且
    AP
    PB
    (λ為常數(shù)且λ>0).
    (I)求點P的軌跡方程C,并說明軌跡類型;
    (II)當(dāng)λ=2時,已知直線l1與原點O的距離為
    a
    2
    ,且直線l1與軌跡C有公共點,求直線l1的斜率k的取值范圍.

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    (2006•廣州二模)長度為a(a>0)的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動,點P在線段AB上,且
    AP
    PB
    (λ為常數(shù)且λ>0).
    (Ⅰ)求點P的軌跡方程C;
    (Ⅱ)當(dāng)a=λ+1時,過點M(1,0)作兩條互相垂直的直線l1和l2,l1和l2分別與曲線C相交于點N和Q(都異于點M),試問:△MNQ能不能是等腰三角形?若能,這樣的三角形有幾個;若不能,請說明理由.

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    長度為a(a>0)的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動,點P在線段AB上,且(λ為常數(shù)且λ>0).
    (Ⅰ)求點P的軌跡方程C;
    (Ⅱ)當(dāng)a=λ+1時,過點M(1,0)作兩條互相垂直的直線l1和l2,l1和l2分別與曲線C相交于點N和Q(都異于點M),試問:△MNQ能不能是等腰三角形?若能,這樣的三角形有幾個;若不能,請說明理由.

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年高考數(shù)學(xué)預(yù)測試卷(押題卷1)(解析版) 題型:解答題

    長度為a(a>0)的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動,點P在線段AB上,且(λ為常數(shù)且λ>0).
    (I)求點P的軌跡方程C,并說明軌跡類型;
    (II)當(dāng)λ=2時,已知直線l1與原點O的距離為,且直線l1與軌跡C有公共點,求直線l1的斜率k的取值范圍.

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