Question

（2008•湖北模擬）某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價(jià)為1.3萬元/輛，年銷售量為50000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛投入成本增加比例為x（0＜x＜1），則出廠價(jià)格相應(yīng)提高的比例為0.7x，年銷售量也相應(yīng)增加，已知年利潤=（每輛車的出廠價(jià)-每輛車的投入成本）×年銷售量．
（Ⅰ）若年銷售量增加的比例為0.4x，寫出本年度的年利潤關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）若年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為y=3240(-x2+2x+

5

3

)，則當(dāng)x為何值時(shí)，本年度的年利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（I）根據(jù)年利潤=（每輛車的出廠價(jià)-每輛車的投入成本）×年銷售量．可設(shè)年利潤為y，從而可以構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）根據(jù)年利潤=（每輛車的出廠價(jià)-每輛車的投入成本）×年銷售量可得函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)法求最值．

解答：解：（I）設(shè)年利潤為y，則有y=[1.3（1+0.7x）-1×（1+x）]50000（1+0.4x）=50（-36x²+30x+300）．
即y=-1800x²+1500x+15000，x∈（0，1）．（4分）
（Ⅱ）依題意年利潤f(x)=[1.3(1+0.7x)-1×(1+x)]×3240(-x2+2x+

5

3

)，  x∈(0，  1)
即f(x)=

162

5

(9x3-48x2+45x+50)，  x∈(0，  1)．（6分）
要求f（x）的最大值，即求g（x）=9x³-48x²+45x+50，x∈（0，1）的最大值．g'（x）=27x²-96x+45．
由g'（x）=0得x=

5

9

或x=3（舍）．（8分）
當(dāng)x∈(0，  

5

9

)時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)x∈(

5

9

，  1)時(shí)，g'（x）＜0．
∴x=

5

9

時(shí)，g（x）有最大值，g(x)max=g(

5

9

)=

5000

81

．（10分）
∴f(x)max=f(

5

9

)=

162

5

×

5000

81

=2000．（11分）
答：當(dāng)x=

5

9

時(shí)，本年度年利潤最大為2000萬元．（12分）

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查二次函數(shù)模型的構(gòu)建，關(guān)鍵是利用年利潤=（每輛車的出廠價(jià)-每輛車的投入成本）×年銷售量．同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值．