Question

【題目】已知橢圓： （）的左右焦點(diǎn)分別為， ，若橢圓上一點(diǎn)滿足，且橢圓過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn) .

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作軸的垂線，交橢圓于，求證： ， ， 三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）由橢圓定義可得，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得，得橢圓方程；

（2）由于的坐標(biāo)為，因此我們可以求出直線的方程，再證明點(diǎn)在此直線上即可．為此設(shè)設(shè)的方程為，點(diǎn)， ， ，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元后得一元二次方程，用韋達(dá)定理得，寫出直線方程，并把代入得直線方程，令，求出，利用可得結(jié)果，結(jié)論得證．

試題解析：

（1）依題意， ，故.

將代入中，解得，故橢圓： .

（2）由題知直線的斜率必存在，設(shè)的方程為.

點(diǎn)， ， ，聯(lián)立得.

即， ， ，

由題可得直線方程為，

又∵， .

∴直線方程為，

令，整理得

，即直線過點(diǎn).

又∵橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴三點(diǎn)， ， 在同一直線上.