Question

設(shè)直線l：2x+y+2=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為l′，若l′與橢圓x²+

y2

4

=1的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使△PAB的面積為

1

2

的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：先根據(jù)直線l與直線l′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求出直線l′的方程，與橢圓方程聯(lián)立求得交點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AB的長，再根據(jù)三角形的面積求出AB邊上的高，設(shè)出P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l′的距離即為AB邊上的高，得到關(guān)于a和b的方程，把P代入橢圓方程得到關(guān)于a與b的另一個(gè)關(guān)系式，兩者聯(lián)立利用根的判別式判斷出a與b的值有幾對(duì)即可得到交點(diǎn)有幾個(gè)．

解答：解：直線l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線l′為y=-2x+2，與橢圓聯(lián)立得：

y=-2x+2 x2+ y2 4 =1

解得

x=0 y=2

或

x=1 y=0

則A（0，2），B（1，0），所以AB=

(0-1)2+(2-0)2

=

5

，
因?yàn)椤鱌AB的面積為

1

2

，所以AB邊上的高為

5

5

設(shè)P的坐標(biāo)為（a，b），代入橢圓方程得：a²+

b2

4

=1；
P到直線y=-2x+2的距離d=

|2a+b-2|

22+1

=

5

5

即2a+b-2=1或2a+b-2=-1；
聯(lián)立得：

2a+b-2=1 a2+ b2 4 =1

①或

2a+b-2=-1 a2+ b2 4 =1

②，
把①中的b消去得8a²-12a+5=0，因?yàn)椤?144-160=-16＜0，所以方程無解；
由②消去b得：8a²-4a-3=0，△=16+96=112＞0，
所以a有兩個(gè)不相等的根，則對(duì)應(yīng)的b也有兩個(gè)不等的根，所以滿足題意的P的坐標(biāo)有兩個(gè)．
故選B

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)求直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值．同時(shí)要求學(xué)生會(huì)利用根的判別式判斷方程解的情況．