Question

已知直線l：6x-5y-28=0交橢圓于M，N兩點，B（0，b）是橢圓的一個頂點，且b為整數(shù)，
而△MBN的重心恰為橢圓的右焦點F₂．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設此橢圓的左焦點為F₁，問在橢圓上是否存在一點P，使得∠F₂PF₁=60°？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由M、N兩點在橢圓上，代入橢圓的方程，由平方差法可求得M，N兩點的對應坐標的和的關系，再由△MBN的重心恰為橢圓的右焦點F₂，也可求得M，N兩點的對應坐標的和，兩者聯(lián)立可求出a、b、c 的關系．再結合M、N在直線L上，可求出a、b、c 的值．
（2）假設存在，在△F₂PF₁中由余弦定理表示出cos∠F₂PF₁，再結合橢圓的定義和基本不等式即可求解．
解答：解（1）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則b²x₁²+a²y₁²=a²b²，b²x₂²+a²y₂²=a²b²，
兩式相減得①，
由，得x₁+x₂=3c，y₁+y₂=-b，代入①
得2b²-5bc+2c²=0⇒2b=c或b=2c②；
∵M、N在直線L上，得6（x₁+x₂）-5（y₁+y₂）=56⇒18c+5b=56③；
由②③解得（b為整數(shù)）：b=4，c=2，a²=20，
因此橢圓方程為：．
（2）證明：
=，
∴∠F₁PF₂＜60°，
∴使∠F₁PF₂=60°的點P不存在．
點評：本題考查直線和橢圓的位置關系、待定系數(shù)法求軌跡方程、橢圓的定義、焦點三角形等問題，綜合性強，運算量大．考查推理能力和運算能力．