Question

(本小題滿分12分）
某公園的大型中心花園的邊界為橢圓，花園內(nèi)種植各種花草. 為增強(qiáng)觀賞性，在橢圓內(nèi)以其
中心為直角頂點且關(guān)于中心對稱的兩個直角三角形內(nèi)種植名貴花草（如圖），并以該直角三角
形斜邊開辟觀賞小道（其中的一條為線段）. 某園林公司承接了該中心花園的施工建設(shè)，
在施工時發(fā)現(xiàn)，橢圓邊界上任意一點到橢圓兩焦點的距離和為4（單位：百米），且橢圓上點
到焦點的最近距離為1（單位：百米）.
（Ⅰ）以橢圓中心為原點建立如圖的坐標(biāo)系，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）請計算觀賞小道的長度（不計小道寬度）的最大值.
 

Answer 1

解：(Ⅰ) 設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，
由已知，2a＝4，a－c＝1，a＝2，c＝1，
∴b＝，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1.……3分
(Ⅱ)①若該直角三角形斜邊斜率存在且不為0，
設(shè)直角三角形斜邊所在直線方程為y＝kx＋m，斜邊與橢圓的交點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
聯(lián)立方程組        y=kx+m
＋＝1
得3x²＋4(kx＋m)²＝12，即(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12＝0，
則Δ＝64k²m²－4(3＋4k²)(4m²－12)＝48(4k²－m²＋3)>0，即4k²－m²＋3>0.
x₁+ x₂=" - " 8km
3＋4k²
x₁ x₂=   ，        …………6分
y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝k²－＋m²
＝，
要使△AOB為直角三角形，需使x₁x₂＋y₁y₂＝0，
即＋＝0，所以7m²－12k²－12＝0， …………8分
即m²＝，故4k²－m²＋3＝4k²＋3－＝>0，
所以|AB|＝＝＝
＝
＝＝
＝≤.
當(dāng)僅當(dāng)16k²＝，k＝±時，等號成立. …………10分
②若該直角三角形斜率不存在或斜率為0，則斜邊長為.
綜上可知，觀賞小道長度的最大值為2(百米). …………12分

略