Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線
y²=的焦點(diǎn)．PQ過(guò)橢圓焦點(diǎn)且PQ⊥x軸，A、B是橢圓位于直線PQ兩側(cè)的兩動(dòng)點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線AB的斜率為1，求四邊形APBQ面積的最大值；
（3）當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解 設(shè)橢圓C的方程為
∵橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y²=的焦點(diǎn)，
∴a=∵離心率等于，
∴，∴c=1∴b=1
∴橢圓C的方程為；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=x+t，代入橢圓方程，
消元可得3x²+4tx+2t²﹣2=0由△＞0，解得﹣＜t＜
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=﹣t，x₁x₂=．
∵PQ過(guò)橢圓焦點(diǎn)且PQ⊥x軸，∴|PQ|=
∴四邊形APBQ的面積S=××|x₁﹣x₂|=×
∴t=0時(shí)，S_max=；
（3）當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，
設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，PA的直線方程為y﹣=k（x﹣1），
與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（1+2k²）x²+（2k﹣4k²）x+k²﹣2k﹣1=0
∴x₁+1=﹣同理x₂+1=﹣
∴x₁+x₂=，x₁﹣x₂=﹣
∴y₁﹣y₂=k（x₁+x₂）﹣2k=，x₁﹣x₂=﹣
∴
∴直線AB的斜率為定值．