Question

用a，b，c，d四個(gè)不同字母組成一個(gè)含n+1（n∈N⁺）個(gè)字母的字符串，要求由a開(kāi)始，相鄰兩個(gè)字母不同．例如n=1時(shí)，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2時(shí)排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如圖所示．記這含n+1個(gè)字母的所有字符串中，排在最后一個(gè)的字母仍是a的字符串的種數(shù)為a_n．
（1）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：an=

3n+3(-1)n

4

(n∈N*，n≥1)；
（2）現(xiàn)從a，b，c，d四個(gè)字母組成的含n+1（n∈N^*，n≥2）個(gè)字母的所有字符串中隨機(jī)抽取一個(gè)字符串，字符串最后一個(gè)的字母恰好是a的概率為P，求證：

2

9

≤P≤

1

3

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，易得n=1時(shí)，等式成立，進(jìn)而假設(shè)設(shè)n=k時(shí)，等式正確，再分析n=k+1時(shí)的等式與n=k的等式之間的關(guān)系，驗(yàn)證n=k+1時(shí)等式仍成立；綜合可得證明；
（2）根據(jù)題意，易得易知P=

1

4

•

3n+3(-1)n

3n

=

1

4

[1+

3(-1)n

3n

]，分①當(dāng)n為奇數(shù)（n≥3）與②當(dāng)n為偶數(shù)（n≥2）兩種情況，分別求得P，綜合可得證明．

解答：（1）證明：
（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)閍₁=0，

3+3(-1)

4

=0，所以等式正確．
（ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)，等式正確，即ak=

3k+3(-1)k

4

(k∈N*，k≥1)，
那么，n=k+1時(shí)，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">ak+1=3k-ak=3k-

3k+3(-1)k

4

=

4•3k-3k-3(-1)k

4

=

3k+1+3(-1)k+1

4

，
這說(shuō)明n=k+1時(shí)等式仍正確．
據(jù)（ⅰ），（ⅱ）可知，an=

3n+3(-1)n

4

(n∈N*，n≥1)正確；
（2）解：易知P=

1

4

•

3n+3(-1)n

3n

=

1

4

[1+

3(-1)n

3n

]，
①當(dāng)n為奇數(shù)（n≥3）時(shí)，P=

1

4

(1-

3

3n

)，
因?yàn)?ⁿ≥27，所以P≥

1

4

(1-

3

27

)=

2

9

，又P=

1

4

(1-

3

3n

)＜

1

4

，所以

2

9

≤P＜

1

4

；
②當(dāng)n為偶數(shù)（n≥2）時(shí)，P=

1

4

(1+

3

3n

)，
因?yàn)?ⁿ≥9，所以P≤

1

4

(1+

3

9

)=

1

3

，又P=

1

4

(1+

3

3n

)＞

1

4

，所以

1

4

＜P≤

1

3

．
綜上所述，

2

9

≤P≤

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，注意數(shù)學(xué)歸納法的步驟，2個(gè)步驟必須完整、嚴(yán)密，第二步尤其重要，否則將會(huì)影響解題的嚴(yán)密性，甚至得到錯(cuò)誤的結(jié)論．