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    設(shè)
    a
    =(cos(θ-
    π
    6
    ) ，sin(θ-
    π
    6
    )) ，
    b
    =(2cos(θ+
    π
    6
    )，2sin(θ+
    π
    6
    ))    ．
    （1）若向量(2t
    b
    +7
    a
    )    與向量(
    b
    +t
    a
    )    的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
    （2）當(dāng)t在區(qū)間（0，1]上變化時(shí)，求向量2t
    b
    +
    m
    t
    a
    (m    為常數(shù)，且m＞0）的模的最小值．
    			
    


			
    

		
    
		
		
	
    
		
    
			
    
				
    
				
    分析：（1）由已知可求|
    a
    |    ，|
    b
    |    ，
    a
    •
    b
    ，由夾角為銳角，代入(2t
    b
    +7
    a
    )•(
    b
    +t
    a
    )    =2t|
    b
    2    |+2t2
    a
    •
    b
    +7
    a
    •
    b
    +7t|
    a
    |    2    ＞0，解不等式可求t的范圍，舍去2t
    b
    +7
    a
    =λ(
    b
    +t
    a
    )    中t即可
    （2）由(2b
    t
    +
    m
    t
    a
    )    2    =4t2|
    b
    |    2    +4m
    a
    •
    b
    +
    m2
    t2
    |
    a
    |    2    =16t2+
    m2
    t2
    +4m    ，結(jié)合y=16t2+
    m2
    t2
    +4m    ，t∈（0，1]的單調(diào)性可求y的最小值
    解答：解：（1）由題設(shè)易得|
    a
    |=1    ，|
    b
    |=2，
    a
    •
    b
    =2cos[(θ-
    π
    6
    )-(θ+
    π
    6
    )]    =2cos(-
    1
    3
    π)    =1 
    ∴(2t
    b
    +7
    a
    )•(
    b
    +t
    a
    )    =2t|
    b
    |    2    =2t|
    b
         |2+2t
    a
    •
    b
    +7
    a
    •
    b
    +7t|
    a
    |  2    ＞0
    整理可得，2t2+15t+7＞0
    ∴t＞-
    1
    2
     或 t＜-7
    又當(dāng)2t
    b
    +7
    a
    與b+t
    a
    共線時(shí)，不滿足題意．
    令2t
    b
    +7
    a
    =λ(
    b
    +t
    a
    )
    則
    2t=λ
    7=tλ
    ∴t=±
    		14
    2

    ∴t＞-
    1
    2
     或 t＜-7，且t≠±
    		14
    2
             （6分）
    （2）∵(2b
    t
    +
    m
    t
    a
    )    2    =4t2|
    b
    |    2    +4m
    a
    •
    b
    +
    m2
    t2
    |
    a
    |    2
    =16t2+
    m2
    t2
    +4m
    令y=16t2+
    m2
    t2
    +4m     t∈（0，1]
    ∵y=16t2+
    m2
    t2
    +4m    ≥8m+4m=12m
    當(dāng)且僅當(dāng)t=
    		m
    2

    于是①當(dāng)
    		m
    2
    ∈(0，1]     即 0＜m≤4時(shí)
    當(dāng)且僅當(dāng)t=
    		m
    2
    時(shí)，ymin=12m．從而|2t
    b
    +
    m
    t
    a
    |=2
    		3m

    ②當(dāng)
    		m
    2
    ＞1     即m＞4時(shí)
    可證 y=16t2+
    m2
    t2
    +4m    在（0，1]為減函數(shù)
    從而當(dāng)t=1時(shí)，ymin=m2+4m+16
    ∴|2t
    b
    +
    m
    t
    a
    | min=
    		m2+4m+16
                    （6分）
    點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注意：向量
    a
    ，
    b
    的夾角θ為銳角時(shí)，并不等價(jià)于
    a
    •
    b
    ＞0    ，一定要把向量同向的情況去掉，及函數(shù)的單調(diào)性在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用．
    				
    
							
    
			
    
			
    
			
			
    
		
    
	
    

		
    

		





			
    
		
    
		
				
    
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
    
		
				
			

					
    
				相關(guān)習(xí)題
			
    
						
		
    
			
    
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
    

						
    設(shè)a=cos（
    10π
    3
    ），b=sin（-380°），則（　�。�
    
                
    A、a＞0，b＞0
    B、a＞0，b＜0
    C、a＜0，b＞0
    D、a＜0，b＜0
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
    

						
    設(shè)
    a
    =(cosα，sinα)    ，
    b
    =(cosβ，sinβ)
    （1）若
    a
    -
    b
    =(-
    2
    3
    ，
    1
    3
    )    ，θ為
    a
    ，
    b
    的夾角，求cosθ．
    （2）若
    a
    與
    b
    夾角為60°，那么t為何值時(shí)|
    a
    -t
    b
    |    的值最��？
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
    

						
    （2008•靜安區(qū)一模）（理）設(shè)
    a
    =(cosα，(λ-1)sinα)，
    b
    =(cosβ，sinβ)，(λ＞0，0＜α＜β＜
    π
    2
    )    是平面上的兩個(gè)向量，若向量
    a
    +
    b
    與
    a
    -
    b
    相互垂直，
    （1）求實(shí)數(shù)λ的值；
    （2）若
    a
    •
    b
    =
    4
    5
    ，且tanα=
    4
    3
    ，求α的值（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
    

						
    設(shè)
    a
    =(cosθ，sinθ)，
    b
    =(3，4)，則
    a
    •
    b
    的最小值是（　　）
    

			
    

			
    
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    同步練習(xí)冊(cè)答案