Question

【題目】設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，直線和相交于點(diǎn)，且和的斜率之差是1.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過軌跡上的點(diǎn)，，作圓：的兩條切線，分別交軸于點(diǎn)，.當(dāng)的面積最小時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)和的斜率之差是列方程，化簡(jiǎn)后求得點(diǎn)的軌跡的方程.注意排除斜率不存在的情況.

（2）設(shè)出切線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出切線方程，利用圓心到切線的距離為列方程，化簡(jiǎn)后寫出關(guān)于切線、的斜率，的根與系數(shù)關(guān)系，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的面積的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求得的面積的最小值以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的值.

（1）設(shè)，由題意得.

化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡的方程為：.

（2）由點(diǎn)所引的切線方程必存在斜率，設(shè)為.

則切線方程為，即.

其與軸的交點(diǎn)為，

而圓心到切線的距離，

整理得：①，

切線、的斜率分別為，，則，是方程①的兩根，

故，

而切線與軸的交點(diǎn)為，故，，

又，，

∴

，

將代入得

，

而點(diǎn)在上，故，

∴

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

又，∴，

故當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，.