Question

已知函數(shù)f（x）=x²-mx（m∈R），g（x）=lnx．
（1）記h（x）=f（x）-g（x），當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意有意義的x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)m＞1時(shí)，方程f（x）=g（x）有兩個(gè)不等的實(shí)根．

Answer 1

分析：（1）先求出m=1時(shí)，h（x）=x²-x-lnx（x＞0），再求出h′(x)=2x-1-

1

x

，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意有意義的x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，即x²-mx＞lnx，其中x＞0，用分離常數(shù)的思想，得出m＜

x2-lnx

x

在x＞0恒成立，問題轉(zhuǎn)化為求

x2-lnx

x

最小值，令t(x)=x-

lnx

x

，求導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出它的最小值，即可求出m的取值范圍；
（3）構(gòu)造新函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=x²-mx-lnx，則研究f（x）=g（x）有兩個(gè)不等的實(shí)根問題轉(zhuǎn)化為h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)問題，下可以采取求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，研究出函數(shù)的極值，再根據(jù)m＞1研究極值的符號(hào)，確定函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，從而證明f（x）=g（x）兩個(gè)不等的實(shí)根

解答：（1）當(dāng)m=1時(shí)，h（x）=x²-x-lnx（x＞0），h′(x)=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

=

(x-1)(2x+1)

x

(x＞0)，…（3分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＜0，∴h（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；…（4分）
當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＞0，∴h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．…（5分）
（2）f（x）＞g（x）等價(jià)于x²-mx＞lnx，其中x＞0，∴m＜

x2-lnx

x

=x-

lnx

x

…（6分）
令t(x)=x-

lnx

x

，得t′(x)=

x2+lnx-1

x2

，…（7分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，t'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，t'（x）＞0，
∴m＜t（x）_min=t（1）=1，
∴m＜1…（10分）
（3）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=x²-mx-lnx，，其中x＞0．
∵h′(x)=2x-m-

1

x

=

2x2-mx-1

x2

=0，等價(jià)于2x²-mx-1=0，
此方程有且只有一個(gè)正根為x0=

m+ m2+8

4

，…（11分）
且當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，
∴h（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增；
∴函數(shù)只有一個(gè)極值h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀．…（12分）
當(dāng)m＞1時(shí)，x0=

m+ m2+8

4

，關(guān)于m在（1，+∞）遞增，
∴x₀∈（1，+∞），lnx₀＞0．…（13分）
∵m＞1，∴(m2+8)-9m2=8(1-m2)＜0，

m2+8

＜3m∴x0-m=

m+ m2+8

4

-m=

m2+8 -3m

4

＜0，…（14分）
h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀=x₀（x₀-m）-lnx₀＜0，…（15分）
當(dāng)m＞1時(shí)，方程f（x）=g（x）有兩個(gè)不等的實(shí)根．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第二小題是一個(gè)恒成立的問題，恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解，本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．本題運(yùn)算量過大，解題時(shí)要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，避免變形運(yùn)算失誤，導(dǎo)致解題失敗．