Question

已知向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(cosx，

3

cos(π-x))，函數(shù)f(x)=

a

•

b

+

3

2

（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

4

單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）在[0，

π

2

]上的最小值，并寫出x相應(yīng)的取值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，將函數(shù)表示為三角函數(shù)式，再利用二倍角公式和兩角差的正弦公式，將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式求最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求其單調(diào)減區(qū)間
（2）先利用平移變換理論寫出函數(shù)g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的最小值即可

解答：解：（1）∵f(x)=

a

•

b

+

3

2

=sinxcosx-

3

cos²x+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

（1+cos2x）+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x-

3

2

+

3

2

=cos

π

3

sin2x-sin

π

3

cos2x
=sin（2x-

π

3

）
故f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

得
kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

  k∈z
∴函數(shù)的f（x） 單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]k∈z
（2）由題意g（x）=sin[2（x+

π

4

）-

π

3

]=sin（2x+

π

6

）
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)，g（x）取得最小值sin

7π

6

=-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角變換公式的應(yīng)用，y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)