Question

分別以雙曲線G：

x2

2

-

y2

2

=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線G的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓C，過橢圓C的右焦點(diǎn)作與x、y兩軸均不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在y軸上是否存在點(diǎn)N（0，n），使得(

NA

+

NB

)•

AB

=0？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）依題意可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，a²=4，c²=2，b²=2．由此可知橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1.
（II）橢圓C的右焦點(diǎn)為F(

2

，0)，設(shè)直線l的方程為y=k(x-

2

)，k≠0.由

x2 4 + y2 2 =1 y=k(x- 2 )

得(1+2k2)x2-4

2

k2x+4k2-4=0.設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），記AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），M(

2 2 k2

1+2k2

，-

2 k

1+2k2

)，由此入手能夠推導(dǎo)出n的取值范圍．

解答：解：（I）依題意可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
且a²=2+2+=4，c²=a²-b²=2，∴b²=2．（2分）
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1.（4分）
（II）橢圓C的右焦點(diǎn)為F(

2

，0)，
設(shè)直線l的方程為y=k(x-

2

)，k≠0.
由

x2 4 + y2 2 =1 y=k(x- 2 )

得(1+2k2)x2-4

2

k2x+4k2-4=0.（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），記AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=

2 2 k2

1+2k2

，∴y0=k(x0-

2

)=-

2 k

1+2k2

，
∴M(

2 2 k2

1+2k2

，-

2 k

1+2k2

)，
若存在點(diǎn)N(0，n)，使得(

NA

+

NB

)•

AB

=0，
等價(jià)于存在點(diǎn)N(0，n)，使得2

NM

•

AB

=0，
從而

- 2 k 1+2k2 -n

2 2 k2 1+2k2

•k=-1，（8分）
解得n=

2 k

1+2k2

=

2

1 k +2k

．k≠0，
當(dāng)k＞0時(shí)，

1

k

+2k≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)k=

2

2

時(shí)取等號(hào)．（10分）
當(dāng)k＜0時(shí)，

1

k

+2k=-[(-

1

k

)+(-2k)]≤-2

2

當(dāng)且僅當(dāng)k=-

2

2

時(shí)取等號(hào)．（11分）
所以存在點(diǎn)N(0，n)，使得(

NA

+

NB

)•

AB

=0.
且n的取值范圍是[-

1

2

，0)∪(0，

1

2

].（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，仔細(xì)解答．