Question

（2013•保定一模）每一個(gè)父母都希望自己的孩子能升上比較理想的中學(xué)，于是就催生了“擇校熱”，這樣“擇�！钡慕Y(jié)果就導(dǎo)致了學(xué)生在路上耽誤的時(shí)間增加了．若某生由于種種原因，每天只能6：15騎車(chē)從家出發(fā)到學(xué)校，途經(jīng)5個(gè)路口，這5個(gè)路口將家到學(xué)校分成了6個(gè)路段，每個(gè)路段的騎車(chē)時(shí)間是10分鐘（通過(guò)路口的時(shí)間忽略不計(jì)），假定他在每個(gè)路口遇見(jiàn)紅燈的概率均為

1

3

，且該生只在遇到紅燈或到達(dá)學(xué)校才停車(chē)．對(duì)每個(gè)路口遇見(jiàn)紅燈的情況統(tǒng)計(jì)如下：

紅燈	1	2	3	4	5
等待時(shí)間（秒）	60	60	90	30	90

（1）設(shè)學(xué)校規(guī)定7：20后（含7：“20）到校即為遲到，求這名學(xué)生遲到的概率；
（2）設(shè)ξ表示該學(xué)生第一次停車(chē)時(shí)已經(jīng)通過(guò)的路口數(shù)，求它的分布列與期望．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)1、2、3、5路口同時(shí)遇到紅燈時(shí)，該學(xué)生會(huì)遲到，由此可求這名學(xué)生遲到的概率；
（2）確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列與期望．

解答：解：（1）當(dāng)1、2、3、5路口同時(shí)遇到紅燈時(shí)，該學(xué)生會(huì)遲到，故這名學(xué)生遲到的概率為P=(

1

3

)4(

1

3

+

2

3

)=

1

81

；
（2）由題意，ξ的取值為0，1，2，3，4，5，則
P（ξ=0）=

1

3

，P（ξ=1）=

2

3

•

1

3

=

2

9

，P（ξ=2）=(

2

3

)2•

1

3

=

4

27

，P（ξ=3）=(

2

3

)3•

1

3

=

8

81

，
P（ξ=4）=(

2

3

)4•

1

3

=

16

243

，P（ξ=5）=(

2

3

)5=

32

243

∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 3	2 9	4 27	8 81	16 243	32 243

Eξ=0×

1

3

+1×

2

9

+2×

4

27

+3×

8

81

+4×

16

243

+5×

32

243

=

422

243

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．