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    橢圓
    x24
    +y2=1    的內(nèi)接矩形的面積的最大值為
     
    ．
    			
    


			
    

		
    
		
		
	
    
		
    
			
    
				
    
				
    分析：由題意的方程可知：矩形的對(duì)角線的斜率存在．設(shè)橢圓內(nèi)接矩形一條對(duì)角線的方程為y=kx，不妨設(shè)k＞0．
    與橢圓的方程聯(lián)立距離解得第一象限的頂點(diǎn)A（x，y），再利用內(nèi)接矩形的面積S=2x•2y=4xy，及基本不等式即可得出．
    解答：解：由題意的方程可知：矩形的對(duì)角線的斜率存在．
    設(shè)橢圓內(nèi)接矩形一條對(duì)角線的方程為y=kx，不妨設(shè)k＞0．
    聯(lián)立
    y=kx
    x2
    4
    +y2=1
    ，
    化為（1+4k2）x2=4，取第一象限的頂點(diǎn)A（x，y），
    解得x=
    2
    		1+4k2
    ，∴y=
    2k
    		1+4k2
    ．
    ∴內(nèi)接矩形的面積S=2x•2y=4xy=4×
    4k
    1+4k2
    =
    16
    1
    k
    +4k
    ≤
    16
    2
    1
    k
    •4k
    =4．當(dāng)且僅當(dāng)k=
    1
    2
    上取等號(hào)．
    故橢圓
    x2
    4
    +y2=1    的內(nèi)接矩形的面積的最大值為4．
    故答案為：4．
    點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的對(duì)稱性、內(nèi)接矩形的面積的最大值問題、基本不等式的性質(zhì)，屬于難題．
    				
    
							
    
			
    
			
    
			
			
    
		
    
	
    

		
    

		





			
    
		
    
		
				
    
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
    
		
				
			

					
    
				相關(guān)習(xí)題
			
    
						
		
    
			
    
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
    

						
    橢圓
    x2
    4
    +y2=1    的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則P到F2的距離為（　�。�
    
                
    A、
    		3
    2
    B、
    		3
    C、
    7
    2
    D、4
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
    

						
    精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
    x24
    +y2=1    的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，過F2作∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作y軸的垂線，垂足為N，線段QN的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的軌跡方程為
     
    ．
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
    

						
    已知△AOQ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），Q為橢圓
    x24
    +y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程．
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
    

						
    （2013•浙江模擬）已知A，B是雙曲線
    x2
    4
    -y2=1    的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于A，B的一點(diǎn)，連接PO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓
    x2
    4
    +y2=1    于點(diǎn)Q，如果設(shè)直線PA，PB，QA的斜率分別為k1，k2，k3，且k1+k2=-
    15
    8
    ，假設(shè)k3＞0，則k3的值為（　�。�
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
    

						
    （2010•上饒二模）已知橢圓
    x2
    4
    +y2=1    的下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B是橢圓上的任意的一點(diǎn)，點(diǎn)C、D是直線x-y-4=0上的兩點(diǎn)（C在D的下方），則
    AB
    •
    CD
    |
    CD
    |
    的最大值是（　�。�
    

			
    

			
    
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    同步練習(xí)冊(cè)答案