Question

如圖所示，PA⊥平面ABCD，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，且AB=AC=2，G為△PAC的重心，E為PB的中點，F(xiàn)在線段BC上，且CF=2FB．
（1）求證：FG∥平面PAB；
（2）求證：FG⊥AC；
（3）當PA長度為多少時，F(xiàn)G⊥平面ACE？

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理或面面平行的性質(zhì)證明．
（2）利用線面垂直的性質(zhì)證明．（3）利用線面垂直的判定定理求值．

解答：解：（1）連接CG交AP于M點，連接BM．
∵

CG

GM

=

CF

BF

=

2

1

，
∴FG∥BM，
又BM?平面PAB，F(xiàn)G?平面PAB
∴FG∥平面PAB．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AC，
又∵AC⊥AB，PA∩AB=A．
∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥BM，
∵FG∥BM，∴FG⊥AC．
（3）連結EM，由（2）知FG⊥AC，若FG⊥平面ACE，
則FG⊥AE，即BM⊥AE，又EM=

1

2

AB=1，
設EA∩BM=H，則EH=

1

2

HA，
設PA=a，則EA=

1

2

PB=

1

2

4+a2

，EH=

1

3

EA=

1

6

4+a2

．
因為Rt△AME～Rt△MHE，
所以EM²=EH•EA，
即1=

1

2

4+a2

?

1

6

4+a2

，解得a=

8

=2

2

．
即PA=2

2

時，F(xiàn)G⊥平面ACE．

點評：本題主要考查線面平行和線面垂直的判定，熟練掌握重心定理及線面平行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理是解決問題的關鍵．