Question

【題目】如圖1，已知正方形鐵片邊長為2a米，四邊中點(diǎn)分別為E，F，G，H，沿著虛線剪去大正方形的四個(gè)角，剩余為四個(gè)全等的等腰三角形和一個(gè)正方形ABCD（兩個(gè)正方形中心重合且四邊相互平行），沿正方形ABCD的四邊折起，使E，F，G，H四點(diǎn)重合，記為P點(diǎn)，如圖2，恰好能做成一個(gè)正四棱錐（粘貼損耗不計(jì)），PO⊥底面ABCD，O為正四棱錐底面中心，設(shè)正方形ABCD的邊長為2x米.

（1）若正四棱錐的棱長都相等，求所圍成的正四棱錐的全面積S；

（2）請寫出正四棱錐的體積V關(guān)于x的函數(shù)，并求V的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）. .

【解析】

（1）連接OH交BC于點(diǎn)H′，由正方形ABCD邊長為2x，所以HH′=a－x.

可得的長及的長，由得可得的值，可得正四棱錐的全面積，計(jì)算可得答案；

（2）可得，可得關(guān)于的函數(shù)，對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可得V的最大值.

解：在圖1中連接OH交BC于點(diǎn)H′，

因?yàn)檎�方�?/span>ABCD邊長為2x，所以HH′=a－x.

在圖2中，OH′=x，PH′=a－x，

由勾股定理得，正四棱錐的高

.

（1）在直角三角形中，，

所以，

由得，，

整理得，，解得（舍去）.

所以，正四棱錐的全面積

平方米.

（2），

所以.

因?yàn)?/span>，設(shè)，

則，

令得，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上遞增；

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上遞減.

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)立方米.