Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（0，-1），點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸非負(fù)半軸上，點(diǎn)M滿足：=2，=0
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為曲線C上一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)Q且與曲線C在點(diǎn)Q處的切線垂直，l與C的另一個(gè)交點(diǎn)為R，若以線段QR為直徑的圓經(jīng)巡原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)A坐標(biāo)是（a，0），M坐標(biāo)是（x，y），B（0，b），則=（x-a，y），=（-a，b），=（a，1）
∵=2，∴有（x-a，y）=2（-a，b），即有x-a=-2a，y=2b，即x=-a，y=2b
∵=0，∴有a（x-a）+y=0
∴-x（x+x）+y=0，∴-2x²+y=0
即C的方程是y=2x²；
（Ⅱ）設(shè)Q（m，2m²），直線l的斜率為k，則y′=4x，∴k=-
∴直線l的方程為y-2m²=-（x-m）
與y=2x²聯(lián)立，消去y可得2x²+x-2m²-=0，該方程必有兩根m與x_R，且mx_R=-m²-
∴（2m²）y_R=4（-m²-）²
∵，∴mx_R+（2m²）y_R=0，∴-m²-+4（-m²-）²=0，∴m=±
∴直線l的方程為．
分析：（Ⅰ）利用=2，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用=0，即可求得C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程與y=2x²聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，正確運(yùn)用向量知識(shí)是關(guān)鍵．