Question

【題目】已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）對(duì)求導(dǎo)，利用，得關(guān)于的方程解方程，即可求出的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，并對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，即可求出的最大值．

（Ⅰ）因?yàn)?/span>f

所以

，

又因?yàn)榍�線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

等價(jià)于恒成立，

等價(jià)于恒成立．

設(shè)，

則，

因?yàn)?/span>，所以．

①當(dāng)，即時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以恒成立，

所以符合題意；

②當(dāng)，即或時(shí)，

設(shè)，

則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，

所以，

所以在上存在，使得.

當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以，

所以或不合題意，舍去．

綜上所述，實(shí)數(shù)的最大值為．