Question

直角三角形ABC中，∠C=90°，B、C在x軸上且關(guān)于原點O對稱，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長為12．若一雙曲線E以B、C為焦點，且經(jīng)過A、D兩點．
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若一過點P（3，0）的直線l與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且

MP

=λ

PN

，問在x軸上是否存在定點G，使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)？若存在，求出所有這樣定點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出雙曲線的方程，則可表示出B，C，D坐標(biāo)，根據(jù)BD=3DC求得a和c的關(guān)系，進而利用雙曲線的定義以及三角形的周長建立方程組求得a，進而求得c和b，則雙曲線的方程可得．
（2）在x軸上存在定點G使題設(shè)成立，設(shè)出直線l的方程，根據(jù)

MP

=λ

PN

求得x₁-t=λ（x₂-t），把直線方程代入橢圓方程消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而求得t，則定點G的坐標(biāo)可求．

解答：解：（1）解：設(shè)雙曲線E的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1  (a＞0，b＞0)，
則B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a
∴

|AB|2-|AC|2=16a2 |AB|+|AC|=12-4a |AB|-|AC|=2a.

解之得a=1，∴c=2，b=

3

∴雙曲線E的方程為x2-

y2

3

=1．
（2）解：設(shè)在x軸上存在定點G（t，0），使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)．
當(dāng)l⊥x軸時，由

MP

=λ

PN

，顯然成立
當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

MP

=λ

PN

，即（3-x₁，y₁）=λ（x₂-3，y₂），即3-x₁=λ（x₂-3），即λ=

3-x1

x2-3

∵

BC

=(4，0)，

GM

-λ

GN

=(x1-t-λx2+λt，y1-λy2)，
∴

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)?x₁-t=λ（x₂-t），將λ=

3-x1

x2-3

代入得2x₁x₂-（3+t）（x₁+x₂）+6t=0①
將y=k（x-3）代入方程為x2-

y2

3

=1整理得得：（3-k²）x²-6k²x-9k²-3=0
其中k²-3≠0且△＞0，即k2≠

3

且x1+x2=

-6k2

3-k2

， x1x2=

-9k2-3

3-k2

代入①，得：

-18k2-6

3-k2

+

6(t+3)k2

3-k2

+6t=0，化簡得：t=

1

3

．
因此，在x軸上存在定點G(

1

3

，0)，使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生分析問題，解決問題的能力．