Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)在軸上方，且到定點(diǎn)距離比到軸的距離大.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別異于原點(diǎn)，在曲線的，兩點(diǎn)處的切線分別為，，且與交于點(diǎn)，求證：在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）設(shè)，由到定點(diǎn)距離比到軸的距離大，可得，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為與聯(lián)立，設(shè)，，可得，的值，又，所以，可得切線的方程，同理可得切線的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，可得其在定直線上.

解：（1）設(shè)，

則有，化簡(jiǎn)得，

故軌跡的方程為.

（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，

設(shè)直線的方程為與

聯(lián)立得，

設(shè)，，

則，，

又，所以，

所以切線的方程為，

即，

同理切線的方程為

聯(lián)立得，.

兩式消去得，

當(dāng)時(shí)，，，

所以交點(diǎn)的軌跡為直線，去掉點(diǎn).

因而交點(diǎn)在定直線上.