Question

設一元二次方程Ax²+Bx+C=0，根據(jù)下列條件分別求解．
（1）若A=1，B、C是一枚骰子先后擲兩次出現(xiàn)的點數(shù)，求方程有實數(shù)根的概率；
（2）設B=-A，C=A-3，A隨機的取實數(shù)使方程有實數(shù)根，求方程至少有一個非負實數(shù)根的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生所包含的事件數(shù)36，滿足條件的事件是當A=1時Ax²+Bx+C=0，變?yōu)閤²+Bx+C=0方程有實數(shù)解得B²-4C≥0 顯然B≠1，列舉出所有的事件，得到概率．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，試驗發(fā)生包含的事件是A隨機的取實數(shù)使方程有實數(shù)根，根據(jù)一元二次方程判別式得到A的范圍，滿足條件的事件是使得方程有至少有一個非負實數(shù)根，根據(jù)對立事件的概率得到結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型，
當A=1時Ax²+Bx+C=0，變?yōu)閤²+Bx+C=0
方程有實數(shù)解得B²-4C≥0 顯然B≠1
若B=2時C=1；1種
若B=3時C=1，2；2種
若B=4時C=1，2，3，4；4種
若B=5時C=1，2，3，4，5，6；6種
若B=6時C=1，2，3，4，5，6；6種故有19種，
方程有實數(shù)根的概率是

19

36

（2）B=-A，C=A-3，且方程有實數(shù)根，得
A≠0，△=A²-4A（A-3）≥0，得0＜A≤4
而方程有兩個正數(shù)根的條件是：A≠0，△=A²-4A（A-3）≥0

A-3

A

＞0
即3＜A≤4
故方程有兩個正數(shù)根的概率是

4-3

4-0

=

1

4

而方程至少有一個非負實數(shù)根的對立事件是方程有兩個正數(shù)根故所求的概率為1-

1

4

=

3

4

點評：本題考查等可能事件的概率，一元二次方程實根分布，是一個綜合題，解題的關(guān)鍵是對于一元二次方程的解的情況的分析，解題時有一定難度．