Question

已知函數(shù)f（x）=elnx+

k

x

（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，k為正數(shù)）
（I）若f（x）在x₀處取得極值，且x₀是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求k的值；
（Ⅱ）若k∈（1，e]，求f（x）在區(qū)間[

1

e

，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f'（x₀）=0求出x₀，代入f（x₀）=0求得k的值；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)k的范圍得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的范圍，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對給出的區(qū)間分段，判出導(dǎo)函數(shù)在兩區(qū)間段內(nèi)的符號，得到原函數(shù)在區(qū)間[

1

e

，1]上端點(diǎn)處取得最大值，通過比較兩個(gè)端點(diǎn)值的大小得到答案．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=elnx+

k

x

，所以f′(x)=

e

x

-

k

x2

．
由已知得f'（x₀）=0，即

e

x0

-

k

x 2 0

=0，∴x0=

k

e

又f（x₀）=0，即eln

k

e

+e=0，∴k=1；
（Ⅱ）f′(x)=

e

x

-

k

x2

=

e(x- k e )

x2

，
∵1＜k≤e，∴

1

e

≤

k

e

≤1，
由此得x∈(

1

e

，

k

e

)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；x∈(

k

e

，1)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增．
故fmax(x)∈{f(

1

e

)，f(1)}
又f(

1

e

)=ek-e，f(1)=k，當(dāng)ek-e＞k，即

e

e-1

＜k＜e時(shí)，fmax(x)=f(

1

e

)=ek-e．
當(dāng)ek-e≤k，即1＜k＜

e

e-1

時(shí)，f_max（x）=f（1）=k．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答的關(guān)鍵是比較端點(diǎn)值的大小，是中高檔題．