【題目】已知直線
與橢圓
交于不同的兩點(diǎn)
，
.
（1）若線段
的中點(diǎn)為
，求直線的方程；
（2）若的斜率為
，且過(guò)橢圓
的左焦點(diǎn)
，的垂直平分線與
軸交于點(diǎn)
，求證：
為定值.
【答案】（1）
；（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
（1）利用點(diǎn)差法可求得直線
的斜率，進(jìn)而求得直線的方程；
（2）設(shè)
，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，進(jìn)而表示出
中點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)
時(shí)，易求得
的值；當(dāng)
時(shí)，可得垂直平分線方程，進(jìn)而求得
點(diǎn)坐標(biāo)和
，利用弦長(zhǎng)公式求得
，進(jìn)而求得的值；綜合兩種情況可知為定值.
（1）設(shè)
，
，
則
，兩式作差得：
，
中點(diǎn)為
，
，
，
直線的方程為：
，即：.
（2）由橢圓方程知：
，可設(shè)直線的方程：
，
聯(lián)立
得：
，
設(shè)，，則
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，
，
，
；
當(dāng)時(shí)，的垂直平分線方程為：
，
令
得：
，
，
，
，
；
綜上所述：
為定值
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知
， 
.
（Ⅰ）若
是
的必要條件，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（Ⅱ）若
，“
或
”為真命題，“
且
”為假命題，求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在三棱錐
中，
底面
，
，
，
是
的中點(diǎn)，
是線段
上的一點(diǎn)，且
，連接
，
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）求點(diǎn)
到平面
的距離.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）若
是函數(shù)
的極值點(diǎn)，求的極小值；
（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，函數(shù)
在
上總有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】西安市自2017年5月啟動(dòng)對(duì)“車(chē)不讓人行為”處罰以來(lái)，斑馬線前機(jī)動(dòng)車(chē)搶行不文明行為得以根本改變，斑馬線前禮讓行人也成為了一張新的西安“名片”.
但作為交通重要參與者的行人，闖紅燈通行卻頻有發(fā)生，帶來(lái)了較大的交通安全隱患及機(jī)動(dòng)車(chē)通暢率降低，交警部門(mén)在某十字路口根據(jù)以往的檢測(cè)數(shù)據(jù)，得到行人闖紅燈的概率約為0.4，并從穿越該路口的行人中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，對(duì)是否存在闖紅燈情況得到
列聯(lián)表如下：
30歲以下 | 30歲以上 | 合計(jì) | |
闖紅燈 | 60 | ||
未闖紅燈 | 80 | ||
合計(jì) | 200 |
近期，為了整頓“行人闖紅燈”這一不文明及項(xiàng)違法行為，交警部門(mén)在該十字路口試行了對(duì)闖紅燈行人進(jìn)行經(jīng)濟(jì)處罰，并從試行經(jīng)濟(jì)處罰后穿越該路口行人中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，得到下表：
處罰金額 | 5 | 10 | 15 | 20 |
闖紅燈的人數(shù) | 50 | 40 | 20 | 0 |
將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得頻率代替概率，完成下列問(wèn)題.
（Ⅰ）將列聯(lián)表填寫(xiě)完整（不需寫(xiě)出填寫(xiě)過(guò)程），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析，在未試行對(duì)闖紅燈行人進(jìn)行經(jīng)濟(jì)處罰前，是否有99.9%的把握認(rèn)為闖紅燈與年齡有關(guān)；
（Ⅱ）當(dāng)處罰金額為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低多少；
（Ⅲ）結(jié)合調(diào)查結(jié)果，談?wù)勅绾沃卫硇腥岁J紅燈現(xiàn)象.
參考公式：
，其中
參考數(shù)據(jù)：
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 1.132 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，側(cè)面
是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底面
，
，
，
是
的中點(diǎn).
（1）求證：直線
平面
；
（2）點(diǎn)
在棱
上，且二面角
的余弦值為
，求直線
與底面所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)
到直線
的距離比到點(diǎn)
的距離大
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡
的方程；
（2）
為上兩點(diǎn)，
為坐標(biāo)原點(diǎn)，
，過(guò)分別作的兩條切線，相交于點(diǎn)
，求
面積的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在直角梯形
中，
∥
，
，
，將直角梯形沿對(duì)角線
折起，使點(diǎn)
到
點(diǎn)位置，則四面體
的體積的最大值為________，此時(shí)，其外接球的表面積為________．
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