Question

【題目】已知數(shù)列，其中．

（1）若滿足．

①當(dāng)，且時(shí)，求的值；

②若存在互不相等的正整數(shù)，滿足，且成等差數(shù)列，求的值．

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，若，，且恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①8②1；（2）5

【解析】

（1）①由遞推公式直接計(jì)算；②時(shí)數(shù)列等差數(shù)列，滿足題意，時(shí)，利用累加法求出通項(xiàng)（用表示），假設(shè)存在，由判斷出只有，故此時(shí)無(wú)解，從而得；

（2）根據(jù)得的遞推關(guān)系，注意驗(yàn)證也滿足，再由得的遞推關(guān)系，然后變形為，從而時(shí)，此式值為5，再計(jì)算時(shí)，，可得最小值為5．

（1）由，，，累加得

（2）①因，所以，，，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，累加得，所以

若存在滿足條件，化簡(jiǎn)得，即，

此時(shí)（舍去）

綜上所述，符合條件的值為1

（2）由可知,兩式作差可得：，又由，可知故，所以對(duì)一切的恒成立

對(duì)，兩式進(jìn)行作差可得,

又由可知，故

又由

,所以 ，

所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故的最小值為