Question

已知 cos(x-

π

4

)=

2

10

，x∈(

π

2

，π)．
（I）求sinx的值；
（Ⅱ）求sin(2x+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（I）先由已知條件，利用余弦的差角公式展開，得到sinx，cosx的方程，再與sin²x+cos²x=1聯(lián)立求得sinx值；
（Ⅱ）利用第一問的結(jié)論結(jié)合正弦的和角展開式以及特殊角的函數(shù)值即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）∵cos(x-

π

4

)=

2

10

，x∈(

π

2

，π)．
∴

2

2

（sinx+cosx）=

2

10

；
⇒sinx+conx=

1

5

⇒cosx=

1

5

-sinx；
代入sin²x+cos²x=1解得sinx=

4

5

，cosx=-

3

5

．
（Ⅱ）∵sinx=

4

5

，cosx=-

3

5

．
∴sin2x=2sinxcosx=-

12

25

；
cos2x=2cos²x-1=-

7

25

．
∴sin(2x+

π

3

)=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

=-

12

25

×

1

2

+（-

7

25

）×

3

2

(    )

(    )

=-

12+7 3

50

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式且能靈活運(yùn)用，本題是基本公式考查題，屬于基礎(chǔ)題．