Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥

2(x-1)

x+1

恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x₀=

x1+x2

2

時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）對(duì)x分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值與最值即可得出；
（2）構(gòu)造函數(shù)令g(x)=lnx+

4

x+1

(x≥1)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與極值即可得出；
（3）利用斜率計(jì)算公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出關(guān)于t=

x2

x1

的關(guān)系式，再利用（2）的結(jié)論即可判斷出是否存在．

解答：解：（1）x∈(0，e)時(shí)， f(x)=x2+2(1-lnx)，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，
令f′（x）＞0得x∈（1，e）；f′（x）＜0得x∈（0，1）．
∴f′（x）在（0，1]上單減，在[1，e）上單增；
x∈[e，+∞)時(shí)， f(x)=x2+2(lnx-1)， f′(x)=2x+

2

x

＞0對(duì)x∈[e，+∞)恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）單調(diào)遞增．
故f（x）_min=f（1）=3．
（2）由lnx≥

2(x-1)

x+1

=2-

4

x+1

?lnx+

4

x+1

≥2
令g(x)=lnx+

4

x+1

(x≥1)，
則g′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
因?yàn)閤≥1，顯然g'（x）≥0，所以g（x）在[1，+∞）上遞增，
顯然有g(shù)（x）≥g（1）=2恒成立．（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立），即證．      
（3）當(dāng)x≥e時(shí)，f（x）=x²+2（lnx-1），f′(x)=2x+

2

x

，假設(shè)函數(shù)f（x）存在“中值伴侶切線”．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線y=f（x）上的不同兩點(diǎn)，且0＜x₁＜x₂，
則y1=x12+2(lnx1-1)，y2=x22+2(lnx2-1)．
故直線AB的斜率：kAB=

y1-y2

x1-x2

=

[x12+2(lnx1-1)]-[x22+2(lnx2-1)]

x1-x2

=(x1+x2)+2•

lnx1-lnx2

x1-x2

．
曲線在點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線斜率：
k=f′（x₀）=f′(

x1+x2

2

)=(x1+x2)+

4

x1+x2

．
依題意得：(x1+x2)+2•

lnx1-lnx2

x1-x2

=(x1+x2)+

4

x1+x2

化簡可得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，即ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．
設(shè)

x2

x1

=t(t＞1)，上式化為由lnt=

2(t-1)

t+1

，由（2）知t＞1時(shí)，lnt+

4

t+1

＞2恒成立．
所以在（1，+∞）內(nèi)不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
綜上所述，假設(shè)不成立．所以，函數(shù)f（x）不存在“中值伴侶切線”．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、分類討論思想方法、斜率的計(jì)算公式、問題等價(jià)轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．