Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)B恰好是拋物線y=

1

4

x2的焦點(diǎn)，離心率等于

2

2

．直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C的右焦點(diǎn)F是否可以為△BMN的垂心？若可以，求出直線l的方程；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=

1

4

x2化為x²=4y，可得p=2，進(jìn)而得其焦點(diǎn)，設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意可得b，再利用離心率計(jì)算公式e=

c

a

=

1- b2 a2

即可得出．
（2）假設(shè)存在直線l，使得點(diǎn)F（1，0）是△BMN的垂心．直線BF的斜率k=

1-0

0-1

=-1，從而直線l的斜率為1．設(shè)直線的方程為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用

NF

•

BM

=0，解得m的值即可．

解答：解：（1）由拋物線y=

1

4

x2化為x²=4y，∴

p

2

=

4

4

=1，得其焦點(diǎn)（0，1）．
設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意可得b=1．
又e=

c

a

=

1- b2 a2

=

2

2

，解得a²=2．
∴橢圓C的方程為 

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l，使得點(diǎn)F（1，0）是△BMN的垂心．
直線BF的斜率k=

1-0

0-1

=-1，從而直線l的斜率為1．
設(shè)直線的方程為y=x+m，
代入橢圓方程并整理，可得3x²+4mx+2m²-2=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
于是

NF

•

BM

=（1-x₂，-y₂）•（x₁，y₁-1）
=x₁+y₂-x₁x₂-y₁y₂
=x₁+x₂+m-x₁x₂-（x₁+m）（x₂+m）
=-2x1x2+(1-m)(x1+x2)+m-m2
=-

2(2m2-2)

3

+(1-m)(-

4m

3

)+m-m²=0，
解之得m=1或m=-

4

3

．
當(dāng)m=1時(shí)，點(diǎn)B即為直線l與橢圓的交點(diǎn)，不合題意．
當(dāng)m=-

4

3

時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)知l和橢圓相交，符合題意．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線l的方程為y=x-

4

3

時(shí)，點(diǎn)F是△BMN的垂心．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、垂心的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．