Question

已知四棱錐P-ABCD的直觀圖（如圖(1)）及左視圖（如圖(2)），底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB。

(1)求證：AD⊥PB；

(2)求異面直線PD與AB所成角的余弦值；

(3)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析(2) (3)

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中點面線的位置關(guān)系的運用。

（1）根據(jù)四棱錐P-ABCD的直觀圖及左視圖底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB。判定其形狀，然后證明AD⊥PB；

(2)利用平移法得到異面直線PD與AB所成角的余弦值；

(3)建立空間直角坐標系，然后表示平面的法向量，運用向量的夾角公式得到平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小

解：⑴取AB的中點O，連接PO，因為PA=PB，則PO⊥AB，

又∵ 平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO平面PAB，

∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，…………2分

而AD⊥AB，PO∩AB=O，

∴AD⊥平面PAB，

∴AD⊥PB。…………4分

⑵過O作AD的平行線為x軸，以O(shè)B、OP所在直線分別為y、z軸，建立如圖10的空間直角坐標系，則A（0，-1，0），D（2，-1，0），B（0，1，0），C（2，1，0），

=（2，-1，-2），=（0，2，0），cos＜，＞==-，

即異面直線PD與AB所成角的余弦值為�！�………8分

⑶易得平面PAB的一個法向量為n=（1，0 ，0）。

設(shè)平面PCD的一個法向量為m=（x，y，z），由⑵知=（2，-1，-2），=（0，-2，0），則，即，解得x=z，

令x=1，則m=（1，0，1），……….10分

則cos＜n，m＞==，

即平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小為。…………..12分