Question

【題目】橢圓經(jīng)過點(diǎn),且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)任作一條直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).在軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（I）（II）存在點(diǎn)，使得.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，即可求解的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若存在點(diǎn)，由題意，當(dāng)直線和的斜率存在,分別設(shè)為,，

等價于，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為.

由 ，得，得，由，即可求得的值。

試題解析：（I）

（II）若存在點(diǎn)，使得，

則直線和的斜率存在,分別設(shè)為,.

等價于.

依題意，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為.

由，得.

因?yàn)橹本�與橢圓有兩個交點(diǎn)，所以.

即，解得.

設(shè)， ,則， ，

令，

當(dāng)時， ，

化簡得， ，

所以.

當(dāng)時，也成立.

所以存在點(diǎn)，使得.