Question

【題目】

設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點，1和是的兩個不同零點，且

且，求的值；

（Ⅱ）若對任意, 都存在（ 為自然對數(shù)的底數(shù)），使得

成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）3， （2）詳見解析

【解析】試題分析：求導(dǎo)后利用為極值點，滿足，在根據(jù)是的零點，滿足，列方程組解出，把的值代入求導(dǎo)，研究函數(shù)的另一個零點所在的區(qū)間，求出；由于在上為增函數(shù)，只需在有解，令，只需存在使得即可，對求導(dǎo)，再進行分類討論.

試題解析：

（Ⅰ）是函數(shù)的極值點，∴.

∵1是函數(shù)的零點，得，

由，解得，

∴,，

令， ，

令得，

所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

故函數(shù)至多有兩個零點，其中，

因為， , ，

所以，故．

（Ⅱ）令， ，則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)，根據(jù)題意，對任意，都存在，使得成立，則

在有解，

令，只需存在使得即可，

由于，

令， ，

∴在(1，e)上單調(diào)遞增， ，

①當，即時， ，即， 在(1，e)上單調(diào)遞增，∴，不符合題意.

② 當，即時，

若，則，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上單調(diào)遞減,∴存在，使得，符合題意.

若，則，∴在(1， e)上一定存在實數(shù)，使得，

∴在(1， )上恒成立，即恒成立， 在(1，m)上單調(diào)遞減,

∴存在，使得，符合題意.

綜上，當時，對任意，都存在，使得成立