Question

（2012•安徽）設(shè)函數(shù)f（x）=

x

2

+sinx的所有正的極小值點從小到大排成的數(shù)列為{x_n}．
（Ⅰ）求數(shù)列{x_n}．
（Ⅱ）設(shè){x_n}的前n項和為S_n，求sinS_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；令f′（x）＜0，確定函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而可得f（x）的極小值點，由此可得數(shù)列{x_n}；
（Ⅱ）S_n=x₁+x₂+…+x_n=2π（1+2+…+n）-

2nπ

3

=n（n+1）π-

2nπ

3

，再分類討論，求sinS_n．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=

1

2

+cosx，令f′（x）=0，可得x=2kπ±

2

3

π(k∈Z)
令f′（x）＞0，可得2kπ-

2

3

π＜x＜2kπ+

2

3

π(k∈Z)；
令f′（x）＜0，可得2kπ+

2

3

π＜x＜2kπ+

4

3

π(k∈Z)
∴x=2kπ-

2

3

π(k∈Z)時，f（x）取得極小值
∴x_n=x=2nπ-

2

3

π(n∈N+)
（Ⅱ）S_n=x₁+x₂+…+x_n=2π（1+2+…+n）-

2nπ

3

=n（n+1）π-

2nπ

3

∴當(dāng)n=3k（k∈N^*）時，sinS_n=sin（-2kπ）=0；
當(dāng)n=3k-1（k∈N^*）時，sinS_n=sin

2π

3

=

3

2

；
當(dāng)n=3k-2（k∈N^*）時，sinS_n=sin

4π

3

=-

3

2

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)與數(shù)列之間的綜合，屬于中檔題．