Question

從集合{x|1≤x≤11，且x∈N^*}中選出5個(gè)元素構(gòu)成該集合的一個(gè)子集，且此子集中任何兩個(gè)元素的和不等于12，則這樣的不同子集共有________個(gè)（用數(shù)字作答）．

Answer 1

112
分析：由12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，知11個(gè)元素中和為12的正好是5對(duì)，選出5個(gè)元素構(gòu)成該集合的一個(gè)子集，且此子集中任何兩個(gè)元素的和不等于12的不同取法有兩種：一是在五對(duì)中各取一個(gè)，不同的取法有：2⁵=32種；二是在五對(duì)中選取四對(duì)，從選取中的四對(duì)中各取一個(gè)，再取一個(gè)元素6，不同的取法有：C₅¹•2⁴=80種．由此能求出任何兩個(gè)元素的和不等于12的不同子集的個(gè)數(shù)．
解答：∵12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，
11個(gè)元素中和為12的正好是5對(duì)，
∵此子集中任何兩個(gè)元素的和不等于12，
∴取了1就不能取11，2不能取10，…等等，
即5對(duì)里每對(duì)只能取2個(gè)數(shù)中的1個(gè)，
∴選出5個(gè)元素構(gòu)成該集合的一個(gè)子集，
且此子集中任何兩個(gè)元素的和不等于12的不同取法有兩種：
一是在五對(duì)中各取一個(gè)，不同的取法有：2⁵=32種；
二是在五對(duì)中選取四對(duì)，從選取中的四對(duì)中各取一個(gè)，再取一個(gè)元素6，
不同的取法有：C₅¹•2⁴=80種．
故這樣的不同子集共有：32+80=112個(gè)．
故答案為：112．
點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理分類(lèi)，易錯(cuò)點(diǎn)是分類(lèi)不清，導(dǎo)致出錯(cuò)．