Question

【題目】已知函數(shù)為偶函數(shù)，且.

（1）求的值，并確定的解析式；

（2）若且）,是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間上為減函數(shù).

Answer 1

【答案】（1）或,（2）存在;

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù),且可知且為偶數(shù),即可求得的值,進而確定的解析式.

（2）將（1）所得函數(shù)的解析式代入即可得的解析式.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性對底數(shù)分類討論,即可求得在區(qū)間上為減函數(shù)時實數(shù)的取值范圍.

（1）因為

則,解不等式可得

因為

則或或

又因為函數(shù)為偶函數(shù)

所以為偶數(shù)

當(dāng)時, ,符合題意

當(dāng)時, ,不符合題意,舍去

當(dāng)時, ,符合題意

綜上可知, 或

此時

（2）存在.理由如下:

由（1）可得

則且

當(dāng)時,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知對數(shù)部分為減函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法可知, 在上為增函數(shù)且滿足在上恒成立

即解不等式組得

當(dāng)時,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知對數(shù)部分為增函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法可知, 在上為減函數(shù)且滿足在上恒成立

即解不等式組得

綜上可知,當(dāng)或時, 在上為減函數(shù)

所以存在實數(shù),滿足在上為減函數(shù)