Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
（I）設(shè)b_n=a_n+n，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{nb_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）若c_n=-a_n，P=，求不超過P的最大整數(shù)的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 由，令n=1可求a₁，n≥2時，利用a_n=s_n-s_n-1可得a_n與a_n-1之間的遞推關(guān)系，構(gòu)造等可證等比數(shù)列
（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求nb_n，利用錯位相減法可求數(shù)列的和
（Ⅲ）由（Ⅰ）可求，進而可求c_n，代入P中利用裂項求和即可求解
解答：解：（Ⅰ） 因為
當n=1時，2a₁=-1，則a₁=-，…．（1分）
當n≥2時，，…．（2分）
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
所以，而b₁=a₁+1=，…．（3分）
所以數(shù){b_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以．…．（4分）
（Ⅱ）  由（Ⅰ）得．
所以  ①
②…．（6分）
②-①得：…．（7分）
…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
∴c_n=n…（9分）
而==
==，…（11分）
所以，
故不超過P的最大整數(shù)為2013．…..（14分）
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，數(shù)列的錯位相減求和及裂項求和方法的綜合應(yīng)用