Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.

（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)在軸上的截距為，且與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)恰與拋物線(xiàn)相切時(shí)，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）首先利用焦半徑公式得到，再寫(xiě)出拋物線(xiàn)方程即可.

（2）首先設(shè)直線(xiàn)，，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)得到，利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，從而得到，再根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)得到，從而得到直線(xiàn)的方程.

（1）由題知，，所以，解得，

故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題知，直線(xiàn)的斜率存在，不妨設(shè)直線(xiàn)，，.

由，消y得，即.

，，，

拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.

令，得，

所以，

而三點(diǎn)共線(xiàn)，所以及，得，

即，

整理得，

即：，解得，

即，

故所求直線(xiàn)的方程為或.