Question

已知函數(shù)（且）．
(1) 試就實(shí)數(shù)的不同取值，寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2) 已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求的值并寫(xiě)出函數(shù)的解析式；
(3) （理）記(2)中的函數(shù)的圖像為曲線(xiàn)，試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，使得為曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(文) 記(2)中的函數(shù)的圖像為曲線(xiàn)，試問(wèn)曲線(xiàn)是否為中心對(duì)稱(chēng)圖形？若是，請(qǐng)求出對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)并加以證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(1) ①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及，
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及，
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及．
(2) ．                    
(3) （理）存在直線(xiàn)及為曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．          
（文）函數(shù)為奇函數(shù)，曲線(xiàn)為中心對(duì)稱(chēng)圖形．

(1) ①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及，
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及，
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及．
（6分）
(2) 由題設(shè)及(1)中③知且，解得，            （9分）
因此函數(shù)解析式為．                    （10分）
(3) （理）假設(shè)存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)為曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，顯然、軸不是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，故可設(shè)：（），
設(shè)為曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且
，，則也在曲線(xiàn)上，由此得，，
且，，                           （14分）
整理得，解得或，
所以存在直線(xiàn)及為曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．          （16分）
（文）該函數(shù)的定義域，曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心為，
因?yàn)閷?duì)任意，，
所以該函數(shù)為奇函數(shù)，曲線(xiàn)為中心對(duì)稱(chēng)圖形．