Question

如圖，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC=，BB₁＝3，D為A₁C₁的中點，F在線段AA₁上．

（1）AF為何值時，CF⊥平面B₁DF？

（2）設AF=1，求平面B₁CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【解】 （1）因為直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

BB₁⊥面ABC，∠ABC＝．

以B點為原點，BA、BC、BB₁分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.

因為AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，

從而B(0，0，0)，A，C，B₁(0，0，3)，A₁，C₁，D，E．

所以，

設AF＝x，則F(，0，x)，

.

，所以       

要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F.

由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，

故當AF＝1或2時，CF⊥平面B₁DF．……………… 5分

（2）由（1）知平面ABC的法向量為n₁=（0，0，1）.    

設平面B₁CF的法向量為，則由得

令z=1得，

所以平面B₁CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值

………………… 10分