Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=，b為常數(shù)．
（1）證明：函數(shù)f（x）的極大值點和極小值點各有一個；
（2）若函數(shù)f（x）的極大值為1，極小值為-1，試求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f′（x）=0得到ax²+2bx-a=0根據(jù)根的判別式得到方程有兩個不相等的實根設(shè)為x₁，x₂（x₁＜x₂），討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極大值和極小值各有一個；
（2）因為函數(shù)f（x）的極大值為1，極小值為-1，所以將x₁，x₂（x₁＜x₂）代入到函數(shù)關(guān)系式中得到兩個式子，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系化簡可得a的值．
解答：解：（1）證明f′（x）=，
令f′（x）=0，得ax²+2bx-a=0（*）
∵△=4b²+4a²＞0，
∴方程（*）有兩個不相等的實根，記為x₁，x₂（x₁＜x₂），
則f′（x）=，
當x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

可見，f（x）的極大值點和極小值點各有一個．
（2）解：由（1）得即

兩個方程左右兩邊相加，得a（x₁+x₂）+2b=x₂²-x₁²．
∵x₁+x₂=-，∴x₂²-x₁²=0，
即（x₂+x₁）（x₂-x₁）=0，
又x₁＜x₂，
∴x₁+x₂=0，從而b=0，
∴a（x²-1）=0，得x₁=-1，x₂=1，代入得a=2．
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及靈活運用一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系解決數(shù)學問題的能力．