Question

已知函數(shù)在x=1處取得極值2，
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；
(Ⅱ)當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(m，2m+1)上單調(diào)遞增？
(Ⅲ)若P(x₀，y₀)為圖象上任意一點(diǎn)，直線l與的圖象切于點(diǎn)P，求直線l的斜率k的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111117/201111171614523751313.gif">，
而函數(shù)在x=1處取得極值2，
所以，即，解得，
所以即為所求．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
令f′(x)=0，得x₁=-1，x₂=1，
則f(x)的增減性如下表：

可知，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[-1，1]，
所以，，
所以當(dāng)m∈(-1，0]時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(m，2m+1)上單調(diào)遞增．
(Ⅲ)由條件知，過(guò)f(x)的圖象上一點(diǎn)P的切線l的斜率k為：
，
令，則t∈(0，1]，
此時(shí)，，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)知：
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)t=1時(shí)，k_max=4；
所以，直線l的斜率k的取值范圍是。