Question

已知函數(shù)f(x)=

sinx

x

，下列命題正確的是

②④

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）
①f（x）是奇函數(shù)
②對(duì)定義域內(nèi)任意x，f（x）＜1恒成立；
③當(dāng)x=

3

2

π時(shí)，f（x）取得極小值；
④f（2）＞f（3）
⑤當(dāng)x＞0時(shí)，若方程|f（x）|=k有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解α，β（α＞β）則β•cosα=-α•sinβ

Answer 1

分析：判斷出函數(shù)的奇偶性，可判斷①，求出函數(shù)的值域，可判斷②；判斷出函數(shù)的極值點(diǎn)，可判斷③；利用函數(shù)的單調(diào)性，比較兩個(gè)函數(shù)值，可判斷④，數(shù)形結(jié)合分析出βcosα=-sinβ，可判斷⑤．

解答：解：①函數(shù)的定義域是{x|x≠0，x∈R}，f（-x）=

sin(-x)

-x

=

sinx

x

=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，故①錯(cuò)誤；
②∵根據(jù)三角函數(shù)線的定義知|sinx|≤|x|，∴

|sinx|

|x|

≤1，∵x≠0，∴

sinx

x

＜1成立，故②正確；
③∵f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，∵f′（

3π

2

）=

4

9π2

≠0，∴x=

3π

2

 不是極值點(diǎn)，∴③錯(cuò)誤；
④∵

π

2

＜2＜3＜π，∴sin2＞sin3＞0，∴

sin2

2

＞

sin3

3

，∴④正確；
⑤
因?yàn)閨

sinx

x

|=k（ x＞0）有且僅有兩個(gè)不同的根α，β，所以，k＞0 
因?yàn)閤＞0時(shí)，y=sinx為周期函數(shù)，y=x為增函數(shù)
所以，f（x）在（0，π）的最大值＞f（x）在（π，2π）的最大值＞f（x）在（2π，3π）的最大值＞…
因?yàn)椋�α＞�?nbsp;
所以，α必為y=f（x）在（π，2π）取最大值時(shí)x的值，
π＜x＜2π時(shí)，f（x）=|

sinx

x

|=-

sinx

x

f'（x）=

-xcosx+sinx

x2

，令f'（x）=0，
則αcosα-sinα=0，即cosα=

sinα

α

，
所以，f（α）=-

sinα

α

=-cosα=k
α，β為方程f（x）=k在（0，π）的根
所以，

sinβ

β

=k
所以，

sinβ

β

=-cosα
即：βcosα=-sinβ，故⑤錯(cuò)誤
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數(shù)的奇偶性，值域，極值，單調(diào)性是三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．