Question

已知函數(shù)f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）當(dāng)t=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)t≠0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）證明：對任意的t∈（0，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)t=1時，求出函數(shù)f（x），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=0處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程；
（II）根據(jù)f'（0）=0，解得x=-t或x=

t

2

，討論t的正負(fù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出單調(diào)區(qū)間即可；
（III）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分兩種情況討論，當(dāng)

t

2

≥1與當(dāng)0＜

t

2

＜1時，研究函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)的符號進(jìn)行判定對任意t∈（0，2），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)從而得到結(jié)論．

解答：解：（I）當(dāng)t=1時，f（x）=4x³+3x²-6x，f（0）=0
f'（x）=12x²+6x-6，f'（0）=-6，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=-6x．
（II）解：f'（x）=12x²+6tx-6t²，f'（0）=0，解得x=-t或x=

t

2

∵t≠0，以下分兩種情況討論：
（1）若t＜0，則

t

2

＜-t，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，

t

2

），（-t，+∞）；f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（

t

2

，-t）
（2）若t＞0，則

t

2

＞-t，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-t），（

t

2

，+∞）；f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-t，

t

2

）
（III）證明：由（II）可知，當(dāng)t＞0時，f（x）在（0，

t

2

）內(nèi)單調(diào)遞減，在（

t

2

，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論：
（1）當(dāng)

t

2

≥1，即t≥2時，f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減．
f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3≤-13＜0
所以對于任意t∈[2，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．
（2）當(dāng)0＜

t

2

＜1，即0＜t＜2時，f（x）在（0，

t

2

）內(nèi)單調(diào)遞減，在（

t

2

，1）內(nèi)單調(diào)遞增
若t∈（0，1]，f（

t

2

）=-

7

4

t3+t-1≤-

7

4

t3＜0，
f（1）=）=-6t²+4t+3≥-2t+3＞0
所以f（x）在（

t

2

，1）內(nèi)存在零點(diǎn)．
若t∈（1，2），f（

t

2

）=-

7

4

t3+t-1＜-

7

4

t3+1＜0，
f（0）=t-1＞0∴f（x）在（0，

t

2

）內(nèi)存在零點(diǎn)．
所以，對任意t∈（0，2），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．
綜上，對于任意t∈（0，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)零點(diǎn)、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查了計(jì)算能力和分類討論的思想．