Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．
（1）求證：AB⊥PD；
（2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使AE∥平面PCD，若存在，指出點(diǎn)E的位置并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，推知PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，從而有AB⊥平面PAD，證得AB⊥PD．
（2）取線段PB的中點(diǎn)E，PC的中點(diǎn)F，連接AE，EF，DF，則EF是△PBC中位線．可推知四邊形EFDA是平行四邊形，轉(zhuǎn)化出AE∥DF．再由線面平行的判定定理得證．

解答：解：
（1）證明∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB．（2分）
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，（5分）
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD．（6分）

（2）取線段PB的中點(diǎn)E，PC的中點(diǎn)F，連接AE，EF，DF，
則EF是△PBC中位線．
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∵AD∥BC，AD=

1

2

BC，
∴AD∥EF，AD=EF．
∴四邊形EFDA是平行四邊形，（8分）
∴AE∥DF．
∵AE?平面PCD，DF?平面PCD，（10分）
∴AE∥平面PCD．（11分）
∴線段PB的中點(diǎn)E是符合題意要求的點(diǎn)．（12分）
∴平面AEF∥平面PCD．（10分）
∵AE?平面AEF，
∴AE∥平面PCD．（11分）
∴線段PB的中點(diǎn)E是符合題意要求的點(diǎn)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行與線線平行，線面垂直和線線垂直間的轉(zhuǎn)化，考查了作圖能力和轉(zhuǎn)化問題的能力．