Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一條準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=

25

4

，其左、右頂點(diǎn)分別是A、B；雙曲線(xiàn)C2：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線(xiàn)方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C₁的方程及雙曲線(xiàn)C₂的離心率；
（2）在第一象限內(nèi)取雙曲線(xiàn)C₂上一點(diǎn)P，連接AP交橢圓C₁于點(diǎn)M，連接PB并延長(zhǎng)交橢圓C₁于點(diǎn)N，若

AM

=

MP

．求

MN

•

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知

a2 c = 25 4 b a = 3 5 c2=a2-b2

解得：

a=5 b=3 c=4

，由此能夠求出橢圓C₁的方程及雙曲線(xiàn)C₂的離心率．
（2）由A（-5，0），B（5，0），設(shè)M(x0，y0)，則由

AM

=

MP

，得M為AP的中點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x₀+5，2y₀），將M、P坐標(biāo)代入C₁、C₂方程得

x02 25 + y02 9 =1 (2x0+5)2 25 - y02 9 =1

，解之得P（10，3

3

)，直線(xiàn)PB：y=

3 3

5

(x-5)，由此能夠求出

MN

•

AB

=0．

解答：解：（1）由已知

a2 c = 25 4 b a = 3 5 c2=a2-b2

解得：

a=5 b=3 c=4

∴橢圓的方程為

x2

25

+

y2

9

=1，雙曲線(xiàn)的方程

x2

25

-

y2

9

=1．
又c′=

25+9

=

34

，
∴雙曲線(xiàn)的離心率e2=

34

5

（5分）
（2）由（Ⅰ）A（-5，0），B（5，0），設(shè)M(x0，y0)，則由

AM

=

MP

得M為AP的中點(diǎn)，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x₀+5，2y₀）
將M、P坐標(biāo)代入C₁、C₂方程得

x02 25 + y02 9 =1 (2x0+5)2 25 - y02 9 =1

，
消去y₀得2x₀²+5x₀-25=0，
解之得x0=

5

2

或x0=-5(舍)，
由此可得P（10，3

3

)，直線(xiàn)PB：y=

3 3

10-5

(x-5)，
即y=

3 3

5

(x-5)
代入

x2

25

+

y2

9

=1得：2x2-15x+25=0，
∴x=

5

2

或5(舍)∴xN=

5

2

，∴x_N=x_M，
故MN⊥x軸，所以

MN

•

AB

=0（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程及雙曲線(xiàn)離心率的求法，計(jì)算

MN

•

AB

的值．解題時(shí)要熟練掌握解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．