Question

在平面直角坐標系中，已知點A ( 

1

2

 ， 0 )，點B在直線l：x=-

1

2

上運動，過點B與l垂直的直線和AB的中垂線相交于點M．
（Ⅰ）求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點P是軌跡E上的動點，點R，N在y軸上，圓C：（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點M的坐標為（x，y），由題設(shè)知，|MB|=|MA|．根據(jù)拋物線的定義可知點M的軌跡為拋物線，根據(jù)焦點和準線方程，則可得拋物線方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，則直線PR的方程可得，由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，把x₀，y₀代入化簡整理可得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，進而可知b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據(jù)求根公式，可求得b-c，進而可得△PRN的面積的表達式，根據(jù)均值不等式可知當當x₀=4時面積最小，進而求得點P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點M的坐標為（x，y），由題設(shè)知，|MB|=|MA|．
所以動點M的軌跡E是以A ( 

1

2

 ， 0 )為焦點，
l：x=-

1

2

為準線的拋物線，其方程為y²=2x；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，
即

| y0-b+x0b |

( y0-b )2+x02

=1．
注意到x₀＞2，化簡上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
由上可知，b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，
根據(jù)求根公式，可得b-c=

4 x 2 0 +4 y 2 0 -8x0

x0-2

=

2x0

x0-2

．
故△PRN的面積為
S=

1

2

( b-c )x0=

x 2 0

x0-2

=( x0-2 )+

4

x0-2

+4≥2

( x0-2 )• 4 x0-2

+4=8，
等號當且僅當x₀=4時成立．此時點P的坐標為( 4 ， 2

2

 )或( 4 ， -2

2

 )．
綜上所述，當點P的坐標為( 4 ， 2

2

 )或( 4 ， -2

2

 )時，△PRN的面積取最小值8．

點評：本題主要考查了拋物線的標準方程和直線與拋物線的關(guān)系．直線與圓錐曲線的問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點，如直線被圓錐曲線截得的弦長、弦中點問題，垂直問題，對稱問題．與圓錐曲線性質(zhì)有關(guān)的量的取值范圍等是近幾年命題的新趨向．