Question

設f（x）為定義在R上的函數，對于任意的實數x滿足f（x+2）=f（x），且在區(qū)間[-1，1]上有f(x)=

ax+2，(-1≤x≤0) logax，(0＜x≤1)

（a＞0且a≠1），則f(

5

2

)=

-1

．

Answer 1

分析：由任意的實數x滿足f（x+2）=f（x），可得函數的周期為2，由區(qū)間[-1，1]上有f(x)=

ax+2(-1≤x≤0) logax(0＜x≤1)

（a＞0且a≠1），根據f（-1）=f（1），構造關于a的方程，求出a值，進而根據f(

5

2

)=f（

1

2

）得到答案．

解答：解：∵對于任意的實數x滿足f（x+2）=f（x），
故函數f（x）是周期為2的周期函數
則f(

5

2

)=f（

1

2

+2）=f（

1

2

）
又∵在區(qū)間[-1，1]上有f(x)=

ax+2(-1≤x≤0) logax(0＜x≤1)

（a＞0且a≠1），
由f（-1）=f（1）得：-a+2=log_a1=0
解得a=2
故f（

1

2

）=log2

1

2

=-1
故答案為：-1

點評：本題考查的知識點是函數的周期性，函數的解析式，函數的值，其中分析出函數的周期后，由f（-1）=f（1），構造關于a的方程，求出a值，是解答的關鍵．