Question

若關(guān)于x的不等式x²-ax-6a＜0有解，且解區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)5個(gè)單位長(zhǎng)，則a的取值范圍是（ ）
A．-25≤a≤1
B．a(chǎn)≤-25或a≥1
C．-25≤a＜0或1≤a＜24
D．-25≤a＜-24或0＜a≤1

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)不等式x²-ax-6a＜0有解判斷出判別式大于0，得到a的范圍，再由解的區(qū)間長(zhǎng)度縮小a的范圍即可．
解答：解：設(shè)方程x²-ax-6a=0的兩根分別為x₁，x₂，則
△＞0，∴a²+24a＞0，∴a＞0或a＜-24
∵解區(qū)間的長(zhǎng)度就是方程x²-ax-6a=0的兩個(gè)根的距離
由韋達(dá)定理，可得x₁+x₂=a，x₁•x₂=-6a
所以（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=a²+24a
∵長(zhǎng)度不超過(guò)五個(gè)單位長(zhǎng)
∴|x₁-x₂|≤5
∴（x₁-x₂）²≤25
∴a²+24a≤25
∴-25≤a≤1
綜上，-25≤a＜-24或0＜a≤1
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的應(yīng)用，考查韋達(dá)定理，正確理解題意是關(guān)鍵．